[GameMath] 행렬
들어가며
이번 시간에는 행렬에 대해 알아본다. 게임에서 행렬은 벡터 변환과 같은 다양한 연산에 필수적인 개념이다. 인공지능, 물리, 카메라 등에서도 굉장히 많이 사용하기 때문에 정말 중요하다.
행렬
- 행렬이란?
- 수를 직사각형 형태로 배열한 것으로, 행과 열로 구성되어 있다.
- 행(Row): 가로 줄
- 열(Column): 세로 줄
행렬의 연산
- 덧셈과 뺄셈
- 두 행렬의 각 원소끼리 더하거나 뺀다.
- 단, 행과 열의 크기가 같아야 한다.
- 스칼라 곱
- 행렬의 각 원소에 스칼라를 곱한다.
- 행렬의 곱셈
- 조건: A (m×n) 행렬, B (n×p) 행렬일 때만 곱셈 가능하다.
- 결과: C (m×p) 행렬
- 교환법칙은 성립하지 않는다.
AB ≠ BA - 결합법칙은 성립한다.
(AB)C = A(BC)→ 변환의 순서가 중요할 때 매우 중요
행렬의 종류
- 대각 행렬 (Diagonal Matrix)
- 대각선 요소를 제외한 모든 원소가 0인 행렬이다.
- 단위 행렬 (Identity Matrix)
- 대각선 요소는 1, 나머지 원소는 모두 0인 행렬이다.
- 특징:
A * I = A,I * A = A - 벡터나 행렬에 아무런 영향을 주지 않는다.
- 역행렬 (Inverse Matrix)
- 행렬 A의 역행렬 B는
AB = I를 만족한다. - 역행렬이 존재하지 않는 경우도 있다. 역행렬이 존재하면 가역행렬이라고 부른다.
- 조건:
det(A) ≠ 0이어야 역행렬이 존재한다. - 고차원 행렬일수록 계산이 복잡하다.
- 행렬 A의 역행렬 B는
- 전치 행렬 (Transpose Matrix)
- 행과 열을 뒤집은 행렬이다.
- 예:
Aᵗ = Transpose(A) - 특징: 어떤 행렬 M에 대해
M * Mᵗ = I인 경우도 있다.
- 직교 행렬 (Orthogonal Matrix)
- 벡터들이 서로 직각을 이루는 행렬이다.
- 특징:
Mᵗ = M⁻¹(전치 행렬 = 역행렬) - 회전 행렬은 대부분 직교행렬이다.
마치며
오랜만에 행렬을 복습하니 예전 기억이 떠오른다.. 직교 행렬 부분이 좀 헷갈리니 복습해야지!!
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